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抛物线概念、知识点及练习题

来源:卓越教育网
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  【概念及知识点】

  一、定义

  平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。

  二、标准方程

  1、标准方程

  右开口抛物线:y2=2px

  左开口抛物线:y2= -2px

  上开口抛物线:x2=2py, y=ax2(a0)

  下开口抛物线:x2=-2py, y=ax2(a0)

  [p为焦准距(p>0)]

  2、特点

  在抛物线y2=2px中,焦点是(p/2,0),准线的方程是x= -p/2,离心率e=1,范围:x≥0;

  在抛物线y2= -2px 中,焦点是( -p/2,0),准线的方程是x=p/2,离心率e=1,范围:x≤0;

  在抛物线x2=2py 中,焦点是(0,p/2),准线的方程是y= -p/2,离心率e=1,范围:y≥0;

  在抛物线x2= -2py中,焦点是(0,-p/2),准线的方程是y=p/2,离心率e=1,范围:y≤0;

  3、四种方程的异同

  抛物线四种方程的异同:

  共同点:

  ①原点在抛物线上; ②对称轴为坐标轴;

  ③准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别对称于原点,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

  不同点:

  ①对称轴为x轴时,方程右端为±2px,方程的左端为y^2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,方程的左端为x^2;

  ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时,焦点在x轴(y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号。

  三、相关参数

  (对于向右开口的抛物线)

  离心率:e=1(恒为定值,为抛物线上一点与准线的距离以及该点与焦点的距离比)

  焦点:(p/2,0)

  准线方程l:x=-p/2

  顶点:(0,0)

  通径:2P ;定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦

  定义域:对于抛物线y2=2px,p>0时,定义域为x≥0,p<0时,定义域为x≤0;对于抛物线x2=2py,定义域为R。

  值域:对于抛物线y2=2px,值域为R,对于抛物线x2=2py,p>0时,值域为y≥0,p<0时,值域为y≤0。

  四、术语解释

  准线、焦点:抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。

  轴:抛物线是轴对称图形,它的对称轴简称轴。

  弦:抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。

  焦弦:抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。

  正焦弦:抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。

  直径:抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。

  主要直径:抛物线的主要直径是抛物线的轴。

  抛物线即把物体抛掷出去,落在远处地面,这物体在空中经过的曲线

  五、解析式求法

  以交点在X轴上为例

  知道P(x0,y0)

  令所求为y2=2px

  则有y02=2px0

  ∴2p=y02/x0

  ∴抛物线为y2=(y02/x0)x

  六、光学性质

  经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线(面)的这个性质,让光源处在焦点处以发射出(准)平行光。

  对于圆、抛物线、椭圆三种曲线,他们的光学性质有一定的规律性:圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心,抛物线反射成平行线,而椭圆将从一个焦点发出的光反射到另一个焦点。

  七、准线式方程

  焦点准线式(标准方程)

  焦点:F(m,n)

  准线:L:ax+by+c=0
  方程为:

  整理得 b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0

  八、面积和弧长公式

  面积 Area=2ab/3

  弧长 Arc length ABC

  =√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

  若O(0,0),M(x,y)是抛物线y^2=2px上两点,抛物线的弧OM的弧长

  弧长 L=(p/2)*{√[(2x/p)*(1+2x/p)]+ln[√(2x/p)+√(1+2x/p)]}

  九、其他

  抛物线:y = ax2 + bx + c (a≠0)

  就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

  a > 0时开口向上

  a < 0时开口向下

  c = 0时抛物线经过原点

  b = 0时抛物线对称轴为y轴

  还有顶点式y = a(x-h)2 + k

  h是顶点坐标的x

  k是顶点坐标的y

  一般用于求最大值与最小值

  抛物线标准方程:y2=2px

  它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

  由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py

 

  十、相关结论

  A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在抛物线y2=2px上,则有:

  ① x1x2 = p²/4 , y1y2 = -p² (要在直线过焦点时才能成立);

  (当A,B在抛物线x²=2py上时,则有x1x2 = -p² , y1y2 = p²/4 , 要在直线过焦点时才能成立)

  ② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2];

  ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P;

  ④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0);

  ⑤焦半径:|FP|=x+p/2 (抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离);

  ⑥弦长公式:AB=√(1+k2)*│x1-x2│;

  ⑦△=b2-4ac;

  ⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项;

  ⑨标准形式的抛物线在(x0,y0 )点的切线是:yy0=p(x+x0)

  (注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 , y² =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 )

  ⑴△=b2-4ac>0有两个实数根;

  ⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根;

  ⑶△=b2-4ac<0没实数根。

  十一、解题法

  1、对称性解题

  我们知道,抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。

  :已知抛物线的对称轴是x =1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。

  分析:设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3 = -3a。故a =-1。

  ∴y = -(x+1)(x-3),即

  y = - x2 + 2x +3。

  2、定义解题

  例:已知F是抛物线y2=4x的焦点,A(3,2)是一个定点,P是抛物线上的动点,求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

  解:设抛物线的准线为L,过P作PH⊥L,垂足为H,再过A点作AH’⊥L,垂足为H’,并交抛物线于P’。连结P’F。则:

  |PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

  所以,|PA|+|PF|的最小值是|AH’|,而准线方程x=-1

  故|PA|+|PF|的最小值是4,此时,P’的坐标是(1,2)

  抛物线的性质 

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ([-b/2a ,(4ac-b)/4a ]

  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b-4ac=0时,P在x轴上。

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0,则a、b要同号

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0,则a、b要异号

  事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  6.抛物线与x轴交点个数

  Δ= b∧2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ= b∧2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  Δ= b∧2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

  当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变

  当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax2+c(a≠0)

  7.定义域:R

  值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,+∞);②[t,+∞)

  奇偶性:偶函数

  周期性:无

  解析式:

  ①y=ax∧2+bx+c[一般式]

  ⑴a≠0

  ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;

  ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);

  ⑷Δ=b∧2-4ac,

  Δ>0,图象与x轴交于两点:

  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);

  Δ=0,图象与x轴交于一点:

  (-b/2a,0);

  Δ<0,图象与x轴无交点;

  ②y=a(x-h)∧2+t[配方式]

  此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b^2)/4a;

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  【参考答案】
  
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